Ensembles finis Exemples

$(- 3, 8)$

Étape 1

Pour déterminer une fonction exponentielle, $f (x) = a^{x}$ , contenant le point, définissez $f (x)$ dans la fonction sur la valeur $y$ $8$ du point, et définissez $x$ sur la valeur $x$ $- 3$ du point.

$8 = a^{- 3}$

Étape 2

Résolvez l’équation pour $a$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $a^{- 3} = 8$ .

$a^{- 3} = 8$

Étape 2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{a^{3}} = 8$

Étape 2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$a^{3}, 1$

Étape 2.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$a^{3}$

Étape 2.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{a^{3}} = 8$ par $a^{3}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{a^{3}} = 8$ par $a^{3}$ .

$\frac{1}{a^{3}} a^{3} = 8 a^{3}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $a^{3}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{a^{3}} a^{3} = 8 a^{3}$

Étape 2.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = 8 a^{3}$

Étape 2.5

Résolvez l’équation.

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $8 a^{3} = 1$ .

$8 a^{3} = 1$

Étape 2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$8 a^{3} - 1 = 0$

Étape 2.5.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.5.3.1

Réécrivez $8 a^{3}$ comme ${(2 a)}^{3}$ .

${(2 a)}^{3} - 1 = 0$

Étape 2.5.3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

${(2 a)}^{3} - 1^{3} = 0$

Étape 2.5.3.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 2 a$ et $b = 1$ .

$(2 a - 1) ({(2 a)}^{2} + 2 a \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 2.5.3.4

Simplifiez

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Étape 2.5.3.4.1

Appliquez la règle de produit à $2 a$ .

$(2 a - 1) (2^{2} a^{2} + 2 a \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 2.5.3.4.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$(2 a - 1) (4 a^{2} + 2 a \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 2.5.3.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$(2 a - 1) (4 a^{2} + 2 a + 1^{2}) = 0$

Étape 2.5.3.4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(2 a - 1) (4 a^{2} + 2 a + 1) = 0$

Étape 2.5.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 a - 1 = 0$

$4 a^{2} + 2 a + 1 = 0$

Étape 2.5.5

Définissez $2 a - 1$ égal à $0$ et résolvez $a$ .

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Étape 2.5.5.1

Définissez $2 a - 1$ égal à $0$ .

$2 a - 1 = 0$

Étape 2.5.5.2

Résolvez $2 a - 1 = 0$ pour $a$ .

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Étape 2.5.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 a = 1$

Étape 2.5.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 a = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.5.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 a = 1$ par $2$ .

$\frac{2 a}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.5.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 a}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.5.5.2.2.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{1}{2}$

Étape 2.5.6

Définissez $4 a^{2} + 2 a + 1$ égal à $0$ et résolvez $a$ .

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Étape 2.5.6.1

Définissez $4 a^{2} + 2 a + 1$ égal à $0$ .

$4 a^{2} + 2 a + 1 = 0$

Étape 2.5.6.2

Résolvez $4 a^{2} + 2 a + 1 = 0$ pour $a$ .

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Étape 2.5.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = 2$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $a$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.3

Simplifiez

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Étape 2.5.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.6.2.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Étape 2.5.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.3.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.3.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.5.6.2.3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2.5.6.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Étape 2.5.6.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.6.2.4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Étape 2.5.6.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.4.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.4.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.4.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.4.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.5.6.2.4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2.5.6.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Étape 2.5.6.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$a = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{4}$

Étape 2.5.6.2.4.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{4}$

Étape 2.5.6.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{4}$

Étape 2.5.6.2.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{4}$

Étape 2.5.6.2.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

Étape 2.5.6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.6.2.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Étape 2.5.6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.5.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.5.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.5.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$a = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.5.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.5.6.2.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$a = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2.5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2.5.6.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Étape 2.5.6.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$a = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{4}$

Étape 2.5.6.2.5.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{4}$

Étape 2.5.6.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{4}$

Étape 2.5.6.2.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{4}$

Étape 2.5.6.2.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Étape 2.5.6.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$a = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Étape 2.5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 a - 1) (4 a^{2} + 2 a + 1) = 0$ vraie.

$a = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Étape 2.6

Supprimez toutes les valeurs contenant des composants imaginaires.

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Étape 2.6.1

Il n’y a pas de composant imaginaire. Ajoutez $\frac{1}{2}$ à la réponse finale.

$\frac{1}{2}$ est un nombre réel

Étape 2.6.2

La lettre $i$ représente un composant imaginaire et ça n’est pas un nombre réel. N’ajoutez pas $- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$ à la réponse finale.

$- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$ n’est pas un nombre réel

Étape 2.6.3

La lettre $i$ représente un composant imaginaire et ça n’est pas un nombre réel. N’ajoutez pas $- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$ à la réponse finale.

$- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$ n’est pas un nombre réel

Étape 2.6.4

La réponse finale est la liste des valeurs ne contenant pas de composants imaginaires.

$a = \frac{1}{2}$

Étape 3

Remplacez à nouveau chaque valeur pour $a$ dans la fonction $f (x) = a^{x}$ pour déterminer chaque fonction exponentielle possible.

$f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$